בגרות 2018 קיץ אחקירת שורש 571 · שיעור 45

חקירת שורש · 5 יחידות · שאלון 571

שיעור 45: בגרות 2018 קיץ א

פתרון שאלות בגרות-5 יחידות

1🔵 סעיף א: הוכחה ש-a > 1 מתחום ההגדרה (שורש במכנה, דיסקרימיננטה שלילית)

2🟣 סעיף ב1: נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים

3🔷 סעיף ב2: האסימפטוטות המקבילות לציר x – y = √a ו-y = −√a

4🟢 סעיף ב3: תחומי עלייה וירידה – הנגזרת a − 1 > 0, הפונקציה עולה לכל x

5🟣 סעיף ב4: סקיצה של גרף הפונקציה בין שתי האסימפטוטות

נתונה הפונקציה f(x) = ax − 1√ax² − 2x + 1, ‏a הוא פרמטר. נתון כי הפונקציה f(x) מוגדרת לכל x.

🔵 סעיף א: הוכחה ש-a > 1 מתחום ההגדרה (שורש במכנה, דיסקרימיננטה שלילית)

הפונקציה f(x) מוגדרת לכל x. הוכיחו כי a > 1.

תחום הגדרה של שורש: מה שבתוך השורש ≥ 0; השורש במכנה, ולכן בלי שווה:

ax² − 2x + 1 > 0

זו פרבולה שתמיד מעל ציר x (מרחפת) – אין לה נקודות חיתוך עם ציר x, ולכן:

b² − 4ac < 0

(−2)² − 4·a·1 < 0

4 − 4a < 0

−4a < −4

a > 1

✅ a > 1 (מש"ל)

🟣 סעיף ב1: נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (הביעו באמצעות a אם יש צורך).

ציר y: x = 0

f(0) = a·0 − 1√a·0² − 2·0 + 1

= −1√1 = −1

(0 , −1)

ציר x: y = 0 – שבר שווה 0 כשהמונה 0:

ax − 1 = 0

ax = 1

x = 1a

(1a , 0)

🟣 סעיף ב1: נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים · המשך

(1a , 0)

✅ (0 , −1) , (1a , 0)

🔷 סעיף ב2: האסימפטוטות המקבילות לציר x – y = √a ו-y = −√a

מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לציר x.

אנכית אין – הפונקציה מוגדרת לכל x.

אופקית: לוקחים את החזקות הגבוהות במונה ובמכנה:

ax√ax² = ax√a·√x² = ax√a·|x|

כאשר x → ∞: |x| = x

ax√a·x = a√a = √a

כאשר x → −∞: |x| = −x

ax−√a·x = −a√a = −√a

✅ y = √a (ימין) , y = −√a (שמאל)

🟢 סעיף ב3: תחומי עלייה וירידה – הנגזרת a − 1 > 0, הפונקציה עולה לכל x

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה (אם יש כאלה).

גוזרים לפי נגזרת מנה; נגזרת השורש = הנגזרת הפנימית חלקי 2 שורש:

f′(x) = מונהax² − 2x + 1

מונה: a·√ax² − 2x + 1

− (ax − 1)·2ax − 22√ax² − 2x + 1

משווים ל-0 (מונה = 0) ומכפילים ב-2√ax² − 2x + 1:

2a(ax² − 2x + 1)

− (2ax − 2)(ax − 1) = 0

2a²x² − 4ax + 2a

− (2a²x² − 4ax + 2) = 0

2a − 2 = 0

a = 1 – סתירה (a > 1), ולכן אין נקודות קיצון.

🟢 סעיף ב3: תחומי עלייה וירידה – הנגזרת a − 1 > 0, הפונקציה עולה לכל x · המשך

a = 1 – סתירה (a > 1), ולכן אין נקודות קיצון.

מציבים נקודה, למשל x = 0, במונה:

a·√1 − (−1)·−22√1

= a − 1

a > 1 ← a − 1 > 0 ← f′ > 0

✅ הפונקציה עולה לכל x, אין תחומי ירידה

🟣 סעיף ב4: סקיצה של גרף הפונקציה בין שתי האסימפטוטות

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

אסימפטוטות y = √a ו-y = −√a; כי a > 1: √a > 1 ו-−√a < −1.

חיתוך (0 , −1) בין האסימפטוטות, ו-1a < 1.

הפונקציה עולה תמיד: נצמדת ל-y = −√a משמאל ועולה אל y = √a מימין.

✅ עולה מ-y = −√a אל y = √a, דרך (0 , −1) ו-(1a , 0)

📌 לזכור

💡 שורש במכנה: מה שבתוכו > 0 (בלי שווה). "מוגדרת לכל x" לפרבולה בתוך השורש ← b² − 4ac < 0. בגלל √x² = |x| מקבלים אסימפטוטה אחרת בימין ובשמאל.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא